\documentclass[10pt]{article}
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\title{第十章 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{双线性函数与辛空间}
读者在读这一章的时候， 将会发现它的部分内容与二次型、欧氏空间及西空间的部分内容有类似的地方。然而这一章的目的就是把这些内容统一到双线性函数的概念之下来进行讨论。

首先介绍线性空间上的线性函数。

\section*{§ 1 线 性 函数}
定义 1 设 $V$ 是数域 $P$ 上的一个线性空间， $f$ 是 $V$ 到 $P$ 的一个映射， 如果 $f$ 满足

\begin{enumerate}
  \item $f( \alpha+ \beta)=f( \alpha)+f( \beta)$;
  \item $f(k  \alpha)=k f( \alpha)$,
\end{enumerate}

其中 $ \alpha,  \beta$ 是 $V$ 中任意元素， $k$ 是 $P$ 中任意数，则称 $f$ 为 $V$ 上的一个线性函数。

从定义可推出线性函数的以下简单性质：

\begin{enumerate}
  \item 设 $f$ 是 $V$ 上的线性函数， 则 $f(0)=0, f(- \alpha)=-f( \alpha)$. 这是因为
\end{enumerate}

\[
f( 0)=f(0  \alpha)=0 f( \alpha)=0,
\]

\[
f(- \alpha)=f((-1)  \alpha)=(-1) f( \alpha)=-f( \alpha) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 如果 $ \beta$ 是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 的线性组合， 即
\end{enumerate}

\[
 \beta=k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s},
\]

那么

\[
f( \beta)=k_{1} f\left( \alpha_{1}\right)+k_{2} f\left( \alpha_{2}\right)+\cdots+k_{s} f\left( \alpha_{s}\right) .
\]

例 1 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $P$ 中任意数， $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 是 $P^{n}$ 中的向量。 函数

\[
f( X)=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}
\]

就是 $P$ 上的一个线性函数。 当 $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0$ 时，得 $f( X)=0$, 称为零函数，我们仍用 0 表示零函数。

实际上， $P^{n}$ 上的任一个线性函数都可表成这种形式。令

\[
 \varepsilon_{i}=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0), \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

第 $i$ 个

$P^{n}$ 中任一向量 $X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 可表成

\[
 X=x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n} .
\]

设 $f$ 是 $P^{n}$ 上一个线性函数，则

\[
f( X)=f\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}  \varepsilon_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} f\left( \varepsilon_{i}\right) .
\]

令

\[
a_{i}=f\left(\varepsilon_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, n,
\]

则

\[
f( X)=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}
\]

就是上述形式 (1).

例 $2 A$ 是数域 $P$ 上一个 $n$ 阶矩阵， 设

\[
 A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
\]

则 $ A$ 的迹

\[
\operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}
\]

是 $P$ 上全体 $n$ 阶矩阵构成的线性空间 $P^{n \times n}$ 上的一个线性函数。

例 3 设 $V=P[x], t$ 是 $P$ 中一个取定的数。 定义 $P[x]$ 上的函数 $L_{t}$ 为

\[
L_{t}(p(x))=p(t), \quad p(x) \in P[x],
\]

即 $L_{t}(p(x))$ 为 $p(x)$ 在 $t$ 点的值， $L_{t}(p(x))$ 是 $P[x]$ 上的线性函数。

如果 $V$ 是数域 $P$ 上一个 $n$ 维线性空间。 取定 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$. 对 $V$ 上任意线性函数 $f$ 及 $V$ 中任意向量

\[
 \alpha=x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n},
\]

都有

\[
f( \alpha)=f\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}  \varepsilon_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} f\left( \varepsilon_{i}\right)
\]

因此， $f( \alpha)$ 由 $f\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, f\left( \varepsilon_{n}\right)$ 的值唯一确定。 反之， 任给 $P$ 中 $n$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, 用下式定义 $V$ 上一个函数 $f$ :

\[
f\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}
\]

这是一个线性函数，并且

\[
f\left(\varepsilon_{i}\right)=a_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

因此， 有

定理 1 设 $V$ 是 $P$ 上一个 $n$ 维线性空间， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组基， $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$是 $P$ 中任意 $n$ 个数，存在唯一的 $V$ 上线性函数 $f$,使

\[
f\left( \varepsilon_{i}\right)=a_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n . \mathbf{I}
\]

\section*{$\S 2$ 对偶空间}
设 $V$ 是数域 $P$ 上一个 $n$ 维线性空间， $V$ 上全体线性函数组成的集合记作 $L(V, P)$,
可以用自然的方法在 $L(V, P)$ 上定义加法和数量乘法。

设 $f, g$ 是 $V$ 上的两个线性函数。 定义函数 $f+g$ 如下：

\[
(f+g)( \alpha)=f( \alpha)+g( \alpha), \quad  \alpha \in V .
\]

$f+g$ 也是线性函数：

\[
\begin{aligned}
(f+g)( \alpha+ \beta) & =f( \alpha+ \beta)+g( \alpha+ \beta) \\
& =f( \alpha)+f( \beta)+g( \alpha)+g( \beta) \\
& =(f+g)( \alpha)+(f+g)( \beta), \\
(f+g)(k  \alpha) & =f(k  \alpha)+g(k  \alpha)=k f( \alpha)+k g( \alpha)=k(f+g)( \alpha) .
\end{aligned}
\]

$f+g$ 称为 $f$ 与 $g$ 的和。

还可以定义数量乘法。 设 $f$ 是 $V$ 上线性函数， 对 $P$ 中任意数 $k$, 定义函数 $k f$ 如下：

\[
(k f)( \alpha)=k(f( \alpha)), \quad  \alpha \in V,
\]

$k f$ 称为 $k$ 与 $f$ 的数量乘积， 易证 $k f$ 也是线性函数。

容易检验， 在这样定义的加法和数量乘法下， $L(V, P)$ 成为数域 $P$ 上的线性空间。

取定 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 作 $V$ 上 $n$ 个线性函数 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$, 使

\[
f_{i}\left( \varepsilon_{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & j=i ; \\
0, & j \neq i,
\end{array} \quad i, j=1,2, \cdots, n .\right.
\]

因为 $f_{i}$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 上的值已确定， 这样的线性函数是存在且唯一的。 对 $V$ 中向量 $\alpha=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i}$, 有

\[
f_{i}( \alpha)=x_{i},
\]

即 $f_{i}( \alpha)$ 是 $ \alpha$ 的第 $i$ 个坐标的值。

引理 对 $V$ 中任意向量 $ \alpha$, 有

\[
 \alpha=\sum_{i=1}^{n} f_{i}( \alpha)  \varepsilon_{i},
\]

而对 $L(V, P)$ 中任意向量 $f$,有

\[
f=\sum_{i=1}^{n} f\left(\varepsilon_{i}\right) f_{i} \cdot
\]

证明 (3) 是 (2) 的直接结论， 而由 (1) 及 (3) 就得出 (4). I

定理 $2 L(V, P)$ 的维数等于 $V$ 的维数， 而且 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 是 $L(V, P)$ 的一组基。

证明 首先证明 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 是线性无关的。 设

\[
c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}+\cdots+c_{n} f_{n}=0, \quad c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} \in P .
\]

依次用 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 代入， 即得 $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$. 因此 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 是线性无关的。 又由 (4) 知 $L(V, P)$ 中任一向量都可由 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 线性表出， 所以 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 是 $L(P, V)$ 的一组基，维 $(L(V, P))=n=$ 维 $(V)$. $\mathbf{J}$

定义 $2 L(V, P)$ 称为 $V$ 的对偶空间。 由 (1) 决定的 $L(V, P)$ 的基称为 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$的对偶基。

以后我们简单地把 $V$ 的对偶空间记作 $V^{*}$.

例 考虑实数域 $\mathbf{R}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V=P[x]_{n}$, 对任意取定的 $n$ 个不同实数 $a_{1}$, $a_{2}, \cdots, a_{n}$, 根据拉格朗日插值公式， 得到 $n$ 个多项式

\[
p_{i}(x)=\frac{\left(x-a_{1}\right) \cdots\left(x-a_{i-1}\right)\left(x-a_{i+1}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)}{\left(a_{i}-a_{1}\right) \cdots\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left(a_{i}-a_{i+1}\right) \cdots\left(a_{i}-a_{n}\right)}, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

它们满足

\[
p_{i}\left(a_{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & j=i ; \\
0, & j \neq i,
\end{array} \quad i, j=1,2, \cdots, n\right.
\]

$p_{1}(x), p_{2}(x), \cdots, p_{n}(x)$ 是线性无关的， 因为由

\[
c_{1} p_{1}(x)+c_{2} p_{2}(x)+\cdots+c_{n} p_{n}(x)=0,
\]

用 $a_{i}$ 代入， 即得

\[
\sum_{k=1}^{n} c_{k} p_{k}\left(a_{i}\right)=c_{i} p_{i}\left(a_{i}\right)=c_{i}=0, \quad i=1,2, \cdots, n
\]

又因 $V$ 是 $n$ 维的，所以 $p_{1}(x), p_{2}(x), \cdots, p_{n}(x)$ 是 $V$ 的一组基。

设 $L_{i} \in V^{*}(i=1,2, \cdots, n)$ 是在 $a_{i}$ 点的取值函数， 即

\[
L_{i}(p(x))=p\left(a_{i}\right), \quad p(x) \in V, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

则线性函数 $L_{i}$ 满足

\[
L_{i}\left(p_{j}(x)\right)=p_{j}\left(a_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & i=j ; \\
0, & i \neq j,
\end{array} \quad i, j=1,2, \cdots, n .\right.
\]

因此， $L_{1}, L_{2}, \cdots, L_{n}$ 是 $p_{1}(x), p_{2}(x), \cdots, p_{n}(x)$ 的对偶基。

下面讨论 $V$ 的两组基的对偶基之间的关系。

设 $V$ 是数域 $P$ 上一个 $n$ 维线性空间。 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 及 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是 $V$ 的两组基。 它们的对偶基分别是 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 及 $g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{n}$. 再设

\[
\begin{aligned}
\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right) & =\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  A, \\
\left(g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{n}\right) & =\left(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}\right)  B,
\end{aligned}
\]

其中

\[
 A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad  B=\left(\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n n}
\end{array}\right) .
\]

由假设

\[
\begin{aligned}
 \eta_{i}=a_{1 i}  \varepsilon_{1}+a_{2 i}  \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n i}  \varepsilon_{n}, & i=1,2, \cdots, n, \\
g_{j}=b_{1 j} f_{1}+b_{2 j} f_{2}+\cdots+b_{n j} f_{n}, & j=1,2, \cdots, n .
\end{aligned}
\]

因此

\[
\begin{aligned}
g_{j}\left( \eta_{i}\right) & =\sum_{k=1}^{n} b_{k j} f_{k}\left(a_{1 i} \varepsilon_{1}+a_{2 i} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n i} \varepsilon_{n}\right) \\
& =b_{1 j} a_{1 i}+b_{2 j} a_{2 i}+\cdots+b_{n j} a_{n i} \\
& =\left\{\begin{array}{ll}
1, & i=j ; \\
0, & i \neq j,
\end{array} \quad i, j=1,2, \cdots, n .\right.
\end{aligned}
\]

由矩阵乘法定义，即得

\[
 B^{\mathrm{T}}  A= E,
\]

即

\[
 B^{\top}= A^{-1} .
\]

因此有下述定理：

定理 3 设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 及 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是线性空间 $V$ 的两组基，它们的对偶基分别为 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 及 $g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{n}$. 如果由 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 到 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $ A$, 那么由 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n}$ 到 $g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{n}$ 的过渡矩阵为 $\left( A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$. I

设 $V$ 是 $P$ 上一个线性空间， $V^{*}$ 是其对偶空间，取定 $V$ 中一个向量 $x$, 定义 $V^{*}$ 的函数

\[
 x^{* * *}(f)=f( x), \quad f \in V^{*} .
\]

根据线性函数的定义， 容易检验 $x^{* *}$ 是 $V^{*}$ 上的一个线性函数， 因此是 $V^{*}$ 的对偶空间 $\left(V^{*}\right)^{*}=V^{* *}$ 中的一个元素。

定理 $4 V$ 是一个线性空间， $V^{* *}$ 是 $V$ 的对偶空间的对偶空间， $V$ 到 $V^{*}$ 的映射

\[
x \longrightarrow x^{* *}
\]

是一个同构映射。

证明 对任意 $x_{1}, x_{2} \in V, f \in V^{*}$, 有

\[
\begin{aligned}
\left(x_{1}+x_{2}\right)^{* *}(f) & =f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) \\
& =x_{1}^{*}(f)+x_{2}^{* *}(f)=\left(x_{1}^{* *}+x_{2}^{* *}\right)(f), \\
\left(k x_{1}\right)^{* *}(f) & =f\left(k x_{1}\right)=k f\left(x_{1}\right)=k x_{1}^{* *}(f)=\left(k x_{1}^{* *}\right)(f) .
\end{aligned}
\]

因此

\[
\left(x_{1}+x_{2}\right)^{* *}=x_{1}^{* *}+x_{2}^{* *}, \quad\left(k x_{1}\right)^{* *}=k x_{1}^{* *} .
\]

所以这个映射保持加法和数量乘法。

如果 $x^{* *}$ 为 $V^{*}$ 上零函数， 即对任一 $f \in V^{*}$, 都有

\[
x^{* *}(f)=f(x)=0
\]

则由 (3), $ x=\mathbf{0}$. 故这个映射是单射， 又因 $V$ 与 $V^{* \prime}$ 维数相同， 所以这个映射是一个同构映射。 I

这个定理说明，线性空间 $V$ 也可看成 $V^{*}$ 的线性函数空间， $V$ 与 $V^{*}$ 实际上是互为线性函数空间的。这就是对偶空间名词的来由。由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的。

\section*{$\S 3$ 双线性函数}
定义 $3 V$ 是数域 $P$ 上一个线性空间， $f( \alpha,  \beta)$ 是 $V$ 上一个二元函数， 即对 $V$ 中任意两个向量 $ \alpha,  \beta$, 根据 $f$ 都唯一地对应于 $P$ 中一个数 $f( \alpha,  \beta)$. 如果 $f( \alpha,  \beta)$ 有下列性质：

\begin{enumerate}
  \item $f\left( \alpha, k_{1}  \beta_{1}+k_{2}  \beta_{2}\right)=k_{1} f\left( \alpha,  \beta_{1}\right)+k_{2} f\left( \alpha,  \beta_{2}\right)$;
  \item $f\left(k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2},  \beta\right)=k_{1} f\left( \alpha_{1},  \beta\right)+k_{2} f\left( \alpha_{2},  \beta\right)$,
\end{enumerate}

其中 $ \alpha,  \alpha_{1},  \alpha_{2},  \beta,  \beta_{1},  \beta_{2}$ 是 $V$ 中任意向量， $k_{1}, k_{2}$ 是 $P$ 中任意数， 则称 $f( \alpha,  \beta)$ 为 $V$ 上的二个双线性函数。

这个定义实际上是说对于 $V$ 上双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$, 将其中一个变元固定时是另
一个变元的线性函数。

例 1 欧氏空间 $V$ 的内积是 $V$ 上双线性函数。

例 2 设 $f_{1}( \alpha), f_{2}( \alpha)$ 都是线性空间 $V$ 上的线性函数， 则

\[
f( \alpha,  \beta)=f_{1}( \alpha) f_{2}( \beta), \quad  \alpha,  \beta \in V
\]

是 $V$ 上的一个双线性函数。

例 3 设 $P^{n}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维列向量构成的线性空间， $X, Y \in P^{n}$, 再设 $A$ 是 $P$ 上一个 $n$ 阶方阵。令

\[
f( X,  Y)= X^{\mathrm{T}}  A  Y,
\]

则 $f( X,  Y)$ 是 $P^{n}$ 上的一个双线性函数。

如果设 $ X^{\mathrm{T}}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),  Y^{\mathrm{T}}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$, 并设

\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
\]

则

\[
f( X,  Y)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}
\]

(1) 或 (2) 实际上是数域 $P$ 上任意 $n$ 维线性空间 $V$ 上的双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$ 的一般形式，可以如下地说明这一事实。取 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 设

\[
\begin{aligned}
&  \alpha=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  X, \\
&  \beta=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  Y,
\end{aligned}
\]

则

\[
f( \alpha,  \beta)=f\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}  \varepsilon_{i}, \sum_{j=1}^{n} y_{j}  \varepsilon_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right) x_{i} y_{j} .
\]

令

\[
\begin{gathered}
a_{i j}=f\left(\varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right), \quad i, j=1,2, \cdots, n, \\
 A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
\end{gathered}
\]

则 (3) 就成为 (1) 或 (2).

定义 4 设 $f( \alpha,  \beta)$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个双线性函数， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$
是 $V$ 的一组基，则矩阵

\[
 A=\left(\begin{array}{cccc}
f\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{1}\right) & f\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{n}\right) \\
f\left(\varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}\right) & f\left(\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_{2}, \varepsilon_{n}\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f\left(\varepsilon_{n}, \varepsilon_{1}\right) & f\left(\varepsilon_{n}, \varepsilon_{2}\right) & \cdots & f\left(\varepsilon_{n}, \varepsilon_{n}\right)
\end{array}\right)
\]

称为 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵。

上面的讨论说明，取定 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 后， 每个双线性函数都对应于一个 $n$ 阶矩阵， 就是这个双线性函数在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵。 度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。而且不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的。

反之， 任给数域 $P$ 上一个 $n$ 阶矩阵

\[
 A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
\]

对 $V$ 中任意向量 $ \alpha=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)  X$ 及 $ \beta=\left(\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  Y$, 其中 $ X^{\mathrm{T}}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$, $ Y^{\mathrm{T}}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$, 用

\[
f( \alpha,  \beta)= X^{\mathrm{T}}  A  Y=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}
\]

定义的函数是 $V$ 上一个双线性函数。 容易计算出 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵就是 $ A$.

因此，在给定的基下， $V$ 上全体双线性函数与 $P$ 上全体 $n$ 阶矩阵之间有一个双射。

在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢? 设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 及 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是线性空间 $V$ 的两组基，且

\[
\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  C .
\]

$\alpha, \beta$ 是 $V$ 中两个向量，

\[
\begin{gathered}
 \alpha=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)  X=\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)  X_{1}, \\
 \beta=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  Y=\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)  Y_{1} .
\end{gathered}
\]

那么

\[
X=C X_{1}, \quad Y=C Y_{1} .
\]

如果双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 及 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 下的度量矩阵分别为 $ A,  B$,则有

\[
f( \alpha,  \beta)= X^{\mathrm{T}}  A  Y=\left( C  X_{1}\right)^{\mathrm{T}}  A\left( C  Y_{1}\right)= X_{1}^{\mathrm{T}}\left( C^{\mathrm{T}}  A  C\right)  Y_{1} .
\]

又

\[
f( \alpha,  \beta)= X_{1}^{\mathrm{T}}  B  Y_{1},
\]

因此

\[
 B= C^{\mathrm{T}}  A  C .
\]

这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。

定义 5 设 $f( \alpha,  \beta)$ 是线性空间 $V$ 上一个双线性函数，如果

\[
f( \alpha,  \beta)=0,
\]

对任意 $ \beta \in V$, 可推出 $ \alpha=\mathbf{0}, f$ 就称为非退化的。

可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的。 设双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵为 $A$, 则对 $\alpha=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) X, \beta=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) Y$, 有

\[
f( \alpha,  \beta)= X^{\mathrm{T}}  A  Y .
\]

如果向量 $ \alpha$ 满足

\[
f( \alpha,  \beta)=0, \quad \text { 对任意 }  \beta \in V,
\]

那么对任意 $ Y$ 都有

\[
 X^{\mathrm{T}}  A  Y=0 .
\]

因此

\[
 X^{\mathrm{T}}  A=\mathbf{0}.
\]

而有非零向量 $ X^{\mathrm{T}}$ 使上式成立的充要条件为 $ A$ 是退化的，因此易证双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$是非退化的充要条件为其度量矩阵 $ A$ 为非退化矩阵。

对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简，但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的。对于对称矩阵我们已有较完整的理论， 以下我们就转向这种特殊的也是最重要的情形。

定义 $6 f( \alpha,  \beta)$ 是线性空间 $V$ 上的一个双线性函数，如果对 $V$ 中任意两个向量 $ \alpha$, $ \beta$, 都有

\[
f( \alpha,  \beta)=f( \beta,  \alpha),
\]

则称 $f( \alpha,  \beta)$ 为对称双线性函数。 如果对 $V$ 中任意两个向量 $ \alpha,  \beta$, 都有

\[
f( \alpha,  \beta)=-f( \beta,  \alpha),
\]

则称 $f( \alpha,  \beta)$ 为反称双线性函数。

设 $f( \alpha,  \beta)$ 是线性空间 $V$ 上的一个对称双线性函数，对 $V$ 的任一组基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$,由于

\[
f\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=f\left(\varepsilon_{j}, \varepsilon_{i}\right),
\]

故其度量矩阵是对称的。 另一方面，如果双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵是对称的，那么对 $V$ 中任意两个向量 $ \alpha=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)  X$ 及 $ \beta=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  Y$,都有

\[
f( \alpha,  \beta)= X^{\mathrm{T}}  A  Y= Y^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}  X= Y^{\mathrm{T}}  A  X=f( \beta,  \alpha) .
\]

因此 $f( \alpha,  \beta)$ 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。

同样地， 双线性函数是反称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反称矩阵

我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵。

根据二次型一章中关于对称矩阵在合同变换下的标准形的理论，我们有下述定理：

定理 5 设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $f( \alpha,  \beta)$ 是 $V$ 上的对称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 使 $f( \alpha,  \beta)$ 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵。 I

下面我们用类似于施密特正交化的方法， 给出这个定理的另一证明。
只要证明能找到一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 使

\[
f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, \quad i \neq j .
\]

如果对 $V$ 中一切 $ \alpha,  \beta$ 都有 $f( \alpha,  \beta)=0$, 则结论成立。

如果 $f( \alpha,  \beta)$ 不全为 0 , 先证必有 $ \varepsilon_{1}$ 使 $f\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{1}\right) \neq 0$. 否则， 若对于所有 $ \alpha \in V$, 皆有 $f( \alpha,  \alpha)=0$, 那么对任意 $ \alpha,  \beta \in V$, 有

\[
f( \alpha,  \beta)=\frac{1}{2}\{f( \alpha+ \beta,  \alpha+ \beta)-f( \alpha,  \alpha)-f( \beta,  \beta)\}=0,
\]

矛盾，所以这样的 $\varepsilon_{1}$ 是存在的。 现在对空间维数 $n$ 作归纳法。 设对于维数 $\leqslant n-1$ 的空间， 上述结论成立。 将 $\varepsilon_{1}$ 扩充成 $V$ 的一组基 $ \varepsilon_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$, 令

\[
 \varepsilon_{i}^{\prime}= \eta_{i}-\frac{f\left( \varepsilon_{1},  \eta_{i}\right)}{f\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{1}\right)}  \varepsilon_{1}, \quad i=2,3, \cdots, n,
\]

则

\[
f\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{i}^{\prime}\right)=0, \quad i=2,3, \cdots, n .
\]

易知 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}$ 仍是 $V$ 的一组基， 考察由 $\varepsilon_{2}^{\prime}, \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}$ 生成的线性子空间 $L\left(\varepsilon_{2}^{\prime}\right.$, $\left. \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots,  \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$, 其中每个向量 $ \alpha$ 都满足 $f\left( \varepsilon_{1},  \alpha\right)=0$, 而且 $V=L\left( \varepsilon_{1}\right) \oplus L\left( \varepsilon_{2}^{\prime},  \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots,  \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$. 把 $f( \alpha,  \beta)$ 看成 $L\left(\varepsilon_{2}^{\prime}, \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$ 上的双线性函数， 仍然是对称的。 但是 $L\left(\varepsilon_{2}^{\prime}, \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$ 的维数小于 $n$, 由归纳法假设， $L\left(\varepsilon_{2}^{\prime}, \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$ 有一组基 $\varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 满足

\[
f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, \quad i, j=2,3, \cdots, n, \quad i \neq j .
\]

由于 $V=L\left(\varepsilon_{1}\right) \oplus L\left(\varepsilon_{2}^{\prime}, \varepsilon_{3}^{\prime}, \cdots, \varepsilon_{n}^{\prime}\right)$, 故 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组基， 且满足要求。 I

如果 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵为对角矩阵， 那么对 $ \alpha=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i},  \beta=$ $\sum_{i=1}^{n} y_{i} \varepsilon_{i}, f( \alpha,  \beta)$ 有表示式

\[
f( \alpha,  \beta)=d_{1} x_{1} y_{1}+d_{2} x_{2} y_{2}+\cdots+d_{n} x_{n} y_{n} .
\]

这个表示式也是 $f( \alpha,  \beta)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的度量矩阵为对角形的充分条件。

推论 1 设 $V$ 是复数域上 $n$ 维线性空间， $f( \alpha,  \beta)$ 是 $V$ 上对称双线性函数，则存在 $V$的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 对 $V$ 中任意向量 $ \alpha=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i},  \beta=\sum_{i=1}^{n} y_{i} \varepsilon_{i}$, 有

\[
f( \alpha,  \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{r} y_{r}, \quad 0 \leqslant r \leqslant n . \mid
\]

推论 2 设 $V$ 是实数域上 $n$ 维线性空间， $f( \alpha,  \beta)$ 是 $V$ 上对称双线性函数， 则存在 $V$的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 对 $V$ 中任意向量 $ \alpha=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i},  \beta=\sum_{i=1}^{n} y_{i} \varepsilon_{i}$, 有

\[
f( \alpha,  \beta)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{p} y_{p}-x_{p+1} y_{p+1}-\cdots-x_{r} y_{t}, \quad 0 \leqslant p \leqslant r \leqslant n . \mid
\]

对称双线性函数与二次齐次函数是 1-1 对应的，我们首先给出下述定义：

定义 7 设 $V$ 是数域 $P$ 上线性空间， $f( \alpha,  \beta)$ 是 $V$ 上双线性函数。 当 $ \alpha= \beta$ 时， $V$ 上函数 $f( \alpha,  \alpha)$ 称为与 $f( \alpha,  \beta)$ 对应的二次齐次函数。

给定 $V$ 上一组基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$, 设 $f( \alpha,  \beta)$ 的度量矩阵为 $ A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$. 对 $V$ 中任一向量 $ \alpha=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i}$, 有

\[
f( \alpha,  \alpha)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}
\]

其中 $x_{i} x_{j}$ 的系数为 $a_{i j}+a_{j i}$. 因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为

\[
 A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \text { 及 }  B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n},
\]

只要

\[
a_{i j}+a_{j i}=b_{i j}+b_{j i}, \quad i, j=1,2, \cdots, n,
\]

那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果我们要求 $A$ 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数。 从 (5) 看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型。 它与对称矩阵是 1-1 对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵。

下面讨论反称双线性函数。

定理 6 设 $f( \alpha,  \beta)$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的反称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{-1}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{-r},  \eta_{1}, \cdots,  \eta_{s}$, 使

\[
\begin{cases}f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{-i}\right)=1, & i=1,2, \cdots, r ; \\ f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, & i+j \neq 0 ; \\ f\left( \alpha,  \eta_{k}\right)=0, &  \alpha \in V, k=1,2, \cdots, s .\end{cases}
\]

证明 如果 $f( \alpha,  \beta)$ 是零函数，那么 $V$ 的任一组基都可取作 $ \eta_{1}, \cdots,  \eta$, 而满足要求。

如果 $f( \alpha,  \beta)$ 不是零函数， 则必有 $ \varepsilon_{1},  \beta$ 使 $f\left( \varepsilon_{1},  \beta\right) \neq 0$. 因为 $f\left( \varepsilon_{1}, \lambda  \beta\right)=\lambda f\left( \varepsilon_{1},  \beta\right)$,故可取适当的 $\lambda$, 令 $\varepsilon_{-1}=\lambda  \beta$, 而使 $f\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{-1}\right)=1$.

将 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{-1}$ 扩充成 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{-1},  \beta_{3}^{\prime}, \cdots,  \beta_{n}^{\prime}$. 令

\[
 \beta_{i}= \beta_{-}^{\prime}-f\left( \beta_{i}^{\prime},  \varepsilon_{-1}\right)  \varepsilon_{1}+f\left( \beta_{1}^{\prime},  \varepsilon_{1}\right)  \varepsilon_{-1}, \quad i=3,4, \cdots, n,
\]

则

\[
f\left( \beta_{i}, \varepsilon_{1}\right)=f\left( \beta_{i},  \varepsilon_{-1}\right)=0, \quad i=3,4, \cdots, n .
\]

显然 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{-1},  \beta_{3},  \beta_{4}, \cdots,  \beta_{n}$ 仍是 $V$ 的基。 于是

\[
V=L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{-1}\right) \oplus L\left( \beta_{3},  \beta_{4}, \cdots,  \beta_{n}\right),
\]

并且 $f( \alpha,  \beta)$ 看作 $L\left( \beta_{3},  \beta_{4}, \cdots,  \beta_{n}\right)$ 上的双线性函数仍是反称的。 因此应用归纳法， 有 $L\left( \beta_{3},  \beta_{4}, \cdots,  \beta_{n}\right)$ 的基 $ \varepsilon_{2},  \varepsilon_{-2}, \cdots,  \varepsilon_{r},  \varepsilon_{-r},  \eta_{1}, \cdots,  \eta$ 满足 (6). 由于 $f\left( \varepsilon_{1},  \beta_{i}\right)=f\left( \varepsilon_{-1},  \beta_{i}\right)=$ $0, i=3,4, \cdots, n$, 因此对任一 $ \alpha \in L\left( \beta_{3},  \beta_{4}, \cdots,  \beta_{n}\right)$, 都有 $f\left( \varepsilon_{1},  \alpha\right)=f\left( \varepsilon_{-1},  \alpha\right)=0$, 故 $ \varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{-1}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{-r},  \eta_{1}, \cdots,  \eta_{s}$ 也满足 (6). I

从定理 5 可知， $V$ 上的对称双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$ 如果是非退化的，则有 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 满足

\[
\begin{cases}f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{i}\right) \neq 0, & i=1,2, \cdots, n ; \\ f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, & j \neq i .\end{cases}
\]

前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做 $V$ 的对于 $f( \alpha,  \beta)$ 的正交基。

而从定理 6 可知， $V$ 上的反称双线性函数 $f( \alpha,  \beta)$ 如果是非退化的，则有 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{-1}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{-r}$,使

\[
\begin{cases}f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{-i}\right)=1, & i=1,2, \cdots, r ; \\ f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, & i+j \neq 0 .\end{cases}
\]

由于非退化的条件，定理 6 中的 $ \eta_{1}, \cdots,  \eta_{s}$ 不可能出现。 因此具有非退化反称双线性函数的线性空间一定是偶数维的。

对于具有非退化对称、反称双线性函数的线性空间 $V$,我们也可以将这些双线性函数看成 $V$ 上的一个“内积”, 仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度、角度很难推广进去，但是还能讨论“正交性”“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等。

定义 8 设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，在 $V$ 上定义了一个非退化双线性函数，则 $V$称为一个双线性度量空间。 当 $f$ 是非退化对称双线性函数时， $V$ 称为 $P$ 上的正交空间;当 $V$ 是 $n$ 维实线性空间， $f$ 是非退化对称双线性函数时， $V$ 称为准欧氏空间; 当 $f$ 是非退化反称双线性函数时， $V$ 称为辛空间。 有着非退化双线性函数 $f$ 的双线性度量空间常记为 $(V, f)$.

\section*{*§ 4 辛空 间}
近年来有限维辛空间的理论在力学、计算数学、几何学、代数学、组合学等领域中日显重要。我们在这一节简略地介绍辛空间的一些性质， 特别是辛空间的子空间及辛自同构 (称为辛变换) 的性质。

由前一节的讨论， 已经得到下面两点性质：

\begin{enumerate}
  \item 辛空间 $(V, f)$ 中一定能找到一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}$, 满足
\end{enumerate}

\[
\begin{cases}f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{-i}\right)=1, & 1 \leqslant i \leqslant n, \\ f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, & -n \leqslant i, j \leqslant n, i+j \neq 0,\end{cases}
\]

这样的基称为 $(V, f)$ 的辛正交基。 还可看出辛空间一定是偶数维的。

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item 任一 $2 n$ 阶非退化反称矩阵 $ K$ 可把一个数域 $P$ 上 $2 n$ 维空间 $V$ 化成一个辛空间，且使 $K$ 为 $V$ 的一组基 $e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}, e_{-1}, e_{-2}, \cdots, e_{-n}$ 下的度量矩阵。 又此辛空间在一组辛正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}$ 下的度量矩阵为
\end{enumerate}

\[
J=\left(\begin{array}{cc}
 O &  E \\
- E &  O
\end{array}\right)_{2 n \times 2 n}
\]

故 $ K$ 合同于 $ J$. 即任一 $2 n$ 阶非退化反称矩阵皆合同于 $ J$.

两个辛空间 $\left(V_{1}, f_{1}\right)$ 及 $\left(V_{2}, f_{2}\right)$, 若有 $V_{1}$ 到 $V_{2}$ 的作为线性空间的同构 $\mathscr{K}$, 它满足

\[
f_{1}( u,  v)=f_{2}(\mathscr{K}  u, \mathscr{K}  v),
\]

则称 $\mathscr{K}$ 是 $\left(V_{1}, f_{1}\right)$ 到 $\left(V_{2}, f_{2}\right)$ 的辛同构。

$\left(V_{1}, f_{1}\right)$ 到 $\left(V_{2}, f_{2}\right)$ 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 $\left(V_{1}, f_{1}\right)$ 的一组辛正交基变成 $\left(V_{2}, f_{2}\right)$ 的辛正交基。

两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数。

辛空间 $(V, f)$ 到自身的辛同构称为 $(V, f)$ 上的辛变换。 取定 $(V, f)$ 的一组辛正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}, V$ 上的一个线性变换 $\mathscr{K}$, 在该基下的矩阵为 $ K$,

\[
 K=\left(\begin{array}{ll}
 A &  B \\
 C &  D
\end{array}\right)
\]

其中 $ A,  B,  C,  D$ 皆为 $n \times n$ 方阵。 则 $\mathscr{K}$ 是辛变换当且仅当 $ K^{\mathrm{T}}  J= J$, 亦即当且仅当下列条件成立：

\[
 A^{\mathrm{T}}  C= C^{\mathrm{T}}  A, \quad  B^{\mathrm{T}}  D= D^{\mathrm{T}}  B, \quad  A^{\mathrm{T}}  D- C^{\mathrm{T}}  B= E .
\]

且易证， $| K|= \pm 1$ 及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换。

设 $( V, f)$ 是辛空间， $ u,  v \in V$ 且满足 $f( u,  v)=0$,则称 $ u,  v$ 为辛正交的。

$W$ 是 $V$ 的子空间，令

\[
\mathbb{W}^{\perp}=\{ u \in V \mid f( u,  w)=0, \forall  w \in \mathbb{W}\} .
\]

$W^{\perp}$ 显然是 $V$ 的子空间，称为 $W$ 的辛正交补空间。

定理 $7(V, f)$ 是辛空间， $W$ 是 $V$ 的子空间，则

\[
\text { 维 }\left(W^{\perp}\right)=\text { 维 }(V) \text {-维 }(W).
\]

证明 取 $V$ 的一组基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{2 n}, W$ 的一组基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{k}$, 设 $f$ 在 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{2 n}$下的度量矩阵为 $ A$.一对向量 $ \eta=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{2 n}\right)  X,  \varepsilon=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{2 n}\right)  Y$, 其中

\[
 X=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{2 n}
\end{array}\right), \quad  Y=\left(\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
\vdots \\
y_{2 n}
\end{array}\right)
\]

分别是 $ \eta$ 及 $\varepsilon$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{2 n}$ 下的坐标向量， 于是

\[
f( \eta,  \varepsilon)= X^{\mathrm{T}}  A  Y .
\]

现设 $W$ 的基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{k}$ 在 $V$ 的基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{2 n}$ 下的坐标向量是 $ X_{1},  X_{2}, \cdots,  X_{k}$,又 $f$ 是非退化的， $ A$ 为可逆矩阵，因此

\[
k=\text { 秩 }\left(\begin{array}{c}
 X_{1}^{\mathrm{T}} \\
 X_{2}^{\mathrm{T}} \\
\vdots \\
 X_{k}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right)=\text { 秩 }\left(\begin{array}{c}
 X_{1}^{\mathrm{T}} \\
 X_{2}^{\mathrm{T}} \\
\vdots \\
 X_{k}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right)  A.
\]

又 $ \varepsilon \in W^{\perp} \Leftrightarrow  \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{k}$ 都与 $ \varepsilon$ 辛正交 $\Leftrightarrow  Y$ 满足齐次线性方程组

\[
\left(\begin{array}{c}
 X_{1}^{\mathrm{T}} \\
 X_{2}^{\mathrm{T}} \\
\vdots \\
 X_{k}^{\mathrm{T}}
\end{array}\right)  A  Y=\mathbf{0}
\]

于是 $W^{\perp}$ 与 (3) 的解空间同构。 (3) 的解空间的维数为 $2 n-k$, 就证明了

\[
\text { 维 }\left(W^{+}\right)=2 n-k=\text { 维 }(V)-\text { 维 }(W).
\]

定义 $9(V, f)$ 为辛空间， $W$ 为 $V$ 的子空间。 若 $W \subset W^{\perp}$, 则称 $W$ 为 $(V, f)$ 的迷向子空间; 若 $W=W^{\perp}$, 即 $W$ 是极大的 (按包含关系) 迷向子空间，也称它为拉格朗日子空间;若 $W \cap W^{\perp}=\{0\}$, 则称 $W$ 为 $(V, f)$ 的辛子空间。

例如，设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}$ 是 $(V, f)$ 的辛正交基，则 $L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}\right)$ 是迷向子空间。 $L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)$ 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间。 $L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}\right.$, $\left.\varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}\right)$ 是辛子空间。

对辛空间 $(V, f)$ 的子空间 $U, W$, 通过验证并利用定理 7, 可得下列性质：

\begin{enumerate}
  \item $\left(W^{\perp}\right)^{\perp}=W$;

  \item $U \subset W \Rightarrow W^{\perp} \subset U^{\perp}$;

  \item 若 $U$ 是辛子空间，则 $V=U \oplus U^{\perp}, U^{\perp}$ 也是辛子空间;

  \item 若 $U$ 是迷向子空间，则维 $(U) \leqslant \frac{1}{2}$ 维 $(V)$;

  \item 若 $U$ 是拉格朗日子空间，则维 $(U)=\frac{1}{2}$ 维 $(V)$.

\end{enumerate}

定理 8 设 $L$ 是辛空间 $(V, f)$ 的拉格朗日子空间， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $L$ 的基，则它可扩充为 $(V, f)$ 的辛正交基。

证明 由性质 5) 知维 $(V)=2 n$. 用 $L_{i}$ 表示 $n-1$ 维子空间 $L\left(\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{i-1}, \varepsilon_{i+1}, \cdots\right.$, $\varepsilon_{n}$ ). 由 $L_{i} \subset L$ 知 $L_{i}^{\perp} \supset L^{\perp}=L$. 再由定理 7 知 $L_{1}^{\perp}$ 是 $n+1$ 维子空间， 故 $L_{1}^{\perp}$ 中有向量 $ \varepsilon_{-1}$ 不在 $L$ 中， 即 $f\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{-1}\right) \neq 0$. 不妨设 $f\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{-1}\right)=1$ (否则把 $ \varepsilon_{-1}$ 换成它的适当倍数). 由于 $ \varepsilon_{-1}$ $\in L_{1}^{\perp}$, 则 $f\left( \varepsilon_{j},  \varepsilon_{-1}\right)=0(j=2,3, \cdots, n)$. 然后在 $L_{2}^{\perp}$ 选一向量 $ \varepsilon_{-2}^{\prime}$ 不在 $L$ 中， 使 $f\left( \varepsilon_{2},  \varepsilon_{-2}^{\prime}\right)=$ 1. 设 $f\left( \varepsilon_{-1},  \varepsilon_{-2}^{\prime}\right)=a$, 作 $ \varepsilon_{-2}=a \varepsilon_{1}+\varepsilon_{-2}^{\prime}$, 则有 $f\left( \varepsilon_{2},  \varepsilon_{-2}\right)=1$ 及 $f\left( \varepsilon_{-1},  \varepsilon_{-2}\right)=-a+a=0$, 且显然有 $f\left( \varepsilon_{j},  \varepsilon_{-2}\right)=0(j=1,3,4, \cdots, n)$. 如此继续下去得到 $(V, f)$ 的基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n},  \varepsilon_{-1},  \varepsilon_{-2}$, $\cdots,  \varepsilon_{-n}$ 是 $(V, f)$ 的辛正交基。 I

推论 设 $W$ 是 $(V, f)$ 的迷向子空间， $\left\{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{k}\right\}$ 是 $W$ 的基， 则它可扩充成 $(V, f)$ 的辛正交基。

证明 设 $L$ 是包含 $W$ 的极大迷向子空间，则 $L$ 是拉格朗日子空间。 可先把 $W$ 的基扩充成 $L$ 的基。 再由定理 8 ,可扩充成 $(V, f)$ 的辛正交基。 I

对于辛子空间 $U, f \mid U$ 也是非退化的。 同样 $f \mid U^{\perp}$ 也非退化。 由定理 7 还有 $V=U$ $\oplus U^{\perp}$.

定理 9 辛空间 $(V, f)$ 的辛子空间 $(U, f \mid U)$ 的一组辛正交基可扩充成 $(V, f)$ 的辛正交基。

证明 实际上 $\left(U^{\perp}, f \mid U^{\perp}\right)$ 的任一组辛正交基与 $(U, f \mid U)$ 的任一组辛正交基合起来就是 $(V, f)$ 的辛正交基。 I

定理 10 令 $(V, f)$ 为辛空间， $U$ 和 $W$ 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有 $(V, f)$ 的辛变换把 $U$ 变成 $W$.

证明 由于把辛正交基变成辛正交基的线性变换是辛变换，再应用定理 8 及定理 9 关于 $U$ 的及 $W$ 的基可扩充成 $(V, f)$ 的辛正交基的结论，容易证明定理。 I

辛空间 $(V, f)$ 的两个子空间 $U$ 及 $W$ 之间的(线性) 同构 $\mathscr{K}$ 若满足

\[
f( u,  v)=f(\mathscr{K}  u, \mathscr{K}  v), \quad \forall  u,  v \in U,
\]

则称 $\mathscr{K}$ 为 $U$ 与 $W$ 间等距。 下面的命题以定理 10 为特例。

维特 (Witt) 定理 辛空间 $(V, f)$ 的两个子空间 $U$ 与 $W$ 间若有等距，则此等距可扩充成 $(V, f)$ 的一个辛变换。

证明 由定理 6 , 存在 $U$ 上的一组基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{m},  \varepsilon_{-1},  \varepsilon_{-2}, \cdots,  \varepsilon_{-m},  \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{r}$,

\[
\begin{cases}f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{-i}\right)=1, & i=1,2, \cdots, m \\ f\left( \varepsilon_{i},  \varepsilon_{j}\right)=0, & i+j \neq 0 \\ f\left( \varepsilon,  \eta_{j}\right)=0, & \varepsilon \in U \quad j=1,2, \cdots, r\end{cases}
\]

令 $H=L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{m}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-m}\right)$, 它是 $V$ 的辛子空间。 $V$ 是辛空间， 故 $H^{\perp}$ 是辛子空间， 且 $V=H \oplus H^{\perp}$. 又由 (4) 知， $L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{r}\right)$ 是 $H^{\perp}$ 的迷向子空间， 它的基可扩充成 $H^{\perp}$ 的辛正交基

\[
 \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}, \cdots,  \eta_{n},  \eta_{-1},  \eta_{-2}, \cdots,  \eta_{-r}, \cdots,  \eta_{-n} .
\]

设 $\tau$ 是等距映射：

\[
\begin{gathered}
\tau: U \rightarrow W . \\
\tau(H)=L\left(\tau\left( \varepsilon_{1}\right), \cdots, \tau\left( \varepsilon_{m}\right), \tau\left( \varepsilon_{-1}\right), \cdots, \tau\left( \varepsilon_{-m}\right)\right), \\
\tau\left( \eta_{1}\right), \tau\left( \eta_{2}\right), \cdots, \tau\left( \eta_{r}\right) \in \tau\left(H^{\perp}\right)=\tau(H)^{\perp},
\end{gathered}
\]

由 (4) 有

\[
\begin{cases}f\left(\tau\left( \varepsilon_{i}\right), \tau\left( \varepsilon_{-i}\right)\right)=1, & i=1,2, \cdots, m \\ f\left(\tau\left( \varepsilon_{i}\right), \tau\left( \varepsilon_{j}\right)\right)=0, & i+j \neq 0 ; \\ f\left( \xi, \tau\left( \eta_{j}\right)\right)=0, &  \xi \in \tau(U)=W, \quad j=1,2, \cdots, r .\end{cases}
\]

与 $U, H, H^{\perp}$ 的情形一样， 对于 $W=\tau(U), \tau(H), \tau\left(H^{\perp}\right)=\tau(H)^{\perp}, V=\tau(H) \oplus \tau$ $(H)^{\perp}$ 是辛子空间的直和。 且 $\tau\left( \eta_{1}\right), \tau\left( \eta_{2}\right), \cdots, \tau\left( \eta_{r}\right)$ 可扩充成 $\tau(H){ }^{\perp}$ 的一个辛正交基，记为

\[
 \xi_{1},  \xi_{2}, \cdots,  \xi_{1}, \cdots,  \xi_{n},  \xi_{-1},  \xi_{-2}, \cdots,  \xi_{-1}, \cdots,  \xi_{-n},
\]

其中 $ \xi_{j}=\tau\left( \eta_{j}\right), j=1,2, \cdots, r$,于是 $\tau\left( \varepsilon_{1}\right), \tau\left( \varepsilon_{2}\right), \cdots, \tau\left( \varepsilon_{m}\right), \tau\left( \varepsilon_{-1}\right), \tau\left( \varepsilon_{-2}\right), \cdots$, $\tau\left(\varepsilon_{-m}\right),  \xi_{1},  \xi_{2}, \cdots,  \xi_{1}, \cdots,  \xi_{n},  \xi_{-1},  \xi_{-2}, \cdots,  \xi_{-+}, \cdots,  \xi_{-n}$ 是 $V$ 的又一组辛正交基。 令 $\rho$ 是 $V$ 的一个线性变换：

\[
\begin{gathered}
\rho: V \rightarrow V, \\
\begin{cases}\rho\left( \varepsilon_{i}\right)=\tau\left( \varepsilon_{i}\right), & i= \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm m ; \\
\rho\left( \eta_{j}\right)= \xi_{j}, & j= \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm n .\end{cases}
\end{gathered}
\]

$\rho$ 把 $V$ 的辛正交基变成辛正交基， 是 $V$ 的一个辛变换。 又当 $i=1,2, \cdots, m$ 时， $\rho\left( \varepsilon_{i}\right)=$ $\tau\left( \varepsilon_{i}\right)$, 当 $j=1,2, \cdots, r$ 时， $\rho\left( \eta_{j}\right)= \xi_{j}=\tau\left( \eta_{j}\right)$, 故 $\rho \mid U=\tau$. 定理得证。 I

设 $\mathscr{K}$ 是辛空间 $(V, f)$ 上的辛变换，我们不加证明地指出， $\mathscr{K}$ 的行列式为 1. (1)

取定 $(V, f)$ 的辛正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-n}$, 设 $\mathscr{K}$ 在该基下矩阵为 $ K$, 这时有 $ K^{\mathrm{T}}  J  K= J$.

下面是辛变换的特征值的一些性质。

定理 11 设 $\mathscr{K}$ 是 $2 n$ 维辛空间中的辛变换， $ K$ 是 $\mathscr{K}$ 在某辛正交基下矩阵。则它的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-K|$ 满足 $f(\lambda)=\lambda^{2 n} f\left(\frac{1}{\lambda}\right)$. 若设

\[
f(\lambda)=a_{0} \lambda^{2 n}+a_{1} \lambda^{2 n-1}+\cdots+a_{2 n-1} \lambda+a_{2 n},
\]

则 $a_{i}=a_{2 n-i}(i=0,1, \cdots, n)$.

证明 由于 $| K|=| J|=1,  J^{2}=- E$ 及 $ K=- J\left( K^{-1}\right)^{\mathrm{T}}  J$, 于是

\[
f(\lambda)=|\lambda  E- K|=\left|\lambda  E+ J\left( K^{-1}\right)^{\mathrm{T}}  J\right|=\left|\lambda  J  E  J- J\left( K^{-1}\right)^{\mathrm{T}}  J\right|
\]

(1) 参见《有限群论： 第一卷， 第一分册》定理 9.19 , 贝 $\cdot$ 胡佩特著， 姜豪， 俞曙霞， 译。 福州： 福建人民出版社， 1992 .

\[
\begin{aligned}
& =| J|\left|\lambda  E-\left( K^{-1}\right)^{\mathrm{T}}\right|| J|=\left|\lambda  E-\left( K^{-1}\right)^{\mathrm{T}}\right|\left| K^{\mathrm{T}}\right| \\
& =\left|\lambda  K^{\mathrm{T}}- E\right|=| E-\lambda  K|=\lambda^{2 n}\left|\frac{1}{\lambda}  E- K\right|=\lambda^{2 n} f\left(\frac{1}{\lambda}\right) \cdot \mathbf{I}
\end{aligned}
\]

由定理 11 可知，辛变换 $\mathscr{K}$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的 (复) 根 $\lambda$ 与 $\frac{1}{\lambda}$ 是同时出现的， 且具有相同的重数。 它在 $P$ 中的特征值也如此。 又 $| K|$ 等于 $f(\lambda)$ 的所有(复)根的积， 而 $| K|=1$, 故特征值为 -1 的重数为偶数。 又不等于 $\pm 1$ 的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为 1 的重数也为偶数。

定理 12 设 $\lambda_{i}, \lambda_{j}$ 是数域 $P$ 上辛空间 $(V, f)$ 上辛变换 $\mathscr{K}$ 在 $P$ 中的特征值， 且 $\lambda_{i} \lambda_{j}$ $\neq 1$. 设 $V_{\lambda_{i}}, V_{\lambda_{j}}$ 是 $V$ 中对应于特征值 $\lambda_{\text {i }}$ 及 $\lambda_{j}$ 的特征子空间。 则 $\forall u \in V_{\lambda_{i}}, v \in V_{\lambda_{j}}$, 有 $f(u$, $ v)=0$, 即 $V_{\lambda_{i}}$ 与 $V_{\lambda_{j}}$ 是辛正交的。 特别地， 当 $\lambda_{i} \neq \pm 1$ 时， $V_{\lambda_{i}}$ 是迷向子空间。

证明 $\mathscr{K}  u=\lambda_{i}  u, \mathscr{K}  v=\lambda_{j}  v$. 由 $f( u,  v)=f(\mathscr{K}  u, \mathscr{K}  v)=\lambda_{i} \lambda_{j} f( u,  v)$, 即有

\[
\left(\lambda_{i} \lambda_{j}-1\right) f(u, v)=0,
\]

故 $f( u,  v)=0$. |

\section*{习 题}
\begin{enumerate}
  \item $V$ 是数域 $P$ 上一个 3 维线性空间， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是它的一组基， $f$ 是 $V$ 上一个线性函数，已知
\end{enumerate}

\[
f\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}\right)=1, \quad f\left(\varepsilon_{2}-2 \varepsilon_{3}\right)=-1, \quad f\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)=-3,
\]

求 $f\left(x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+x_{3} \varepsilon_{3}\right)$.
2. $V$ 及 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 同上题，试找出一个线性函数 $f$, 使

\[
f\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}\right)=f\left(\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{3}\right)=0, \quad f\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)=1 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item 设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基， $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 是它的对偶基，
\end{enumerate}

\[
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{3}=\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3} .
\]

试证 $ \alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基并求它的对偶基 (用 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 表出)，

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item 设 $V$ 是一个线性空间， $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{1}$, 是 $V^{*}$ 中非零向量，试证，存在 $ \alpha \in V$, 使
\end{enumerate}

\[
f_{i}( \alpha) \neq 0, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item 设 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 是线性空间 $V$ 中非零向量，证明： 存在 $f \in V^{*}$,使
\end{enumerate}

\[
f\left( \alpha_{i}\right) \neq 0, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item $V=P[x]_{3}$, 对 $p(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2} \in V$ 定义
\end{enumerate}

\[
f_{1}(p(x))=\int_{0}^{1} p(x) \mathrm{d} x, \quad f_{2}(p(x))=\int_{0}^{2} p(x) \mathrm{d} x, \quad f_{3}(p(x))=\int_{0}^{-1} p(x) \mathrm{d} x .
\]

试证 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 都是 $V$ 上线性函数， 并找出 $V$ 的一组基 $p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$, 使 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 是它的对偶基。

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间， 它的内积为 $( \alpha,  \beta)$, 对 $V$ 中确定的向量 $ \alpha$, 定义 $V$ 上一个函数 $ \alpha^{*}$ :
\end{enumerate}

\[
 \alpha^{*}( \beta)=( \alpha,  \beta) .
\]

\begin{enumerate}
  \item 证明： $ \alpha^{*}$ 是 $V$ 上线性函数;

  \item 证明： $V$ 到 $V^{*}$ 的映射 :

\end{enumerate}

\[
\alpha \rightarrow \alpha^{*}
\]

是 $V$ 到 $V^{*}$ 的一个同构映射。 (在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。)


\end{document}
